The Postal Owl

### [Ověření vlastností relace](https://matematika.reseneulohy.cz/3351/overeni-vlastnosti-relace)

### Rodinné vztahy

Relace $R$ t.ž. $xRy$ pokud $x$ je rodičem $y$ se získá sjednocením množin $O$ a $M$: $R = O \cup M$.

Relace $D$ t.ž. $xDy$ pokud $x$ je dítětem $y$ je přesně inverze $R$, tedy $D = R^{-1}$.

Relace pro strýce (tedy jen pokrevního) je taková, že $xSy$, $x$ je strýcem $y$, má platit pokud $x$ je bratrem rodiče $y$, tedy existuje nějaký rodič $z$ t.ž. $xBz$ a zároveň $zRy$, tedy $S = B \circ R$.

### [Uzavřenost reflexivity](https://matematika.reseneulohy.cz/3353/uzavrenost-reflexivity)

### [Uzavřenost tranzitivity](https://matematika.reseneulohy.cz/3354/uzavrenost-tranzitivity)

### Skládání relací

Nakreslete si šipkový diagram. V prvním i druhém případě vyjde $R = R \circ R$. Ve třetím případě toto neplatí a $R \circ R = \{(x,y) \mid x < y-1\}$, ale ve čtvrtém případě opět $R = R \circ R$, protože pro každé dvě různé $x,y$ t.ž. $x < y$ existuje $z, x < z < y$ a proto to funguje. (Zde se projevuje, že $\mathbb{N}$ není "husté", ale $\mathbb{R}$ je.)

### [Skládání a tranzitivita](https://matematika.reseneulohy.cz/3357/tranzitivita-i)

### Falešné skládání

Neplatí a stačí najít protipříklad, kde ta vlastnost $R,S$ bude platit, $R$ bude tranzitivní, ale nebude platit $S \subseteq R$; např. si lze vzít $R=\{(a,b),(b,c),(a,c)\}$ a $S = \{(a,a), (a,c)\}$.