The Postal Owl

### Symetrická i antisymetrická

Např. $(X, \emptyset)$.

### Ani symetrická, ani antisymetrická

Např. $(\{1,2,3\}, \{(1,2), (2,1), (2,3)\}$ -- není symetrická, protože chybí dvojice $(3,2)$, a není antisymetrická, protože obsahuje obě dvojice $(1,2)$ i $(2,1)$.

### Ekvivalenční třídy.

S tímto jste docela bojovali, v zadání to není úplně šťastně definované, takže to zadefinuju ještě jednou.

Binární relace je vždy definována na nějaké nosné množině $X$, takže $R \subseteq X \times X$. Zde je $X = 2^{\{1,2,3,\dots, n\}}$, tedy $X$ jsou všechny podmnožiny množiny $\{1,2,\dots, n\}$. A $R$ dává tyto podmnožiny do nějakých dvojic, podle podmínky, zda existuje bijekce. Tedy přesně můžeme zapsat

$R = \{(A,B) \mid A,B \subseteq \{1,2,\dots, n\}, \exists f: A \to B, f \text{ je bijekce}\}$.

Ekvivalenční třídy jsou vždy definovány vůči prvkům $X$. Zde je prvkem $X$ každá podmnožina čísel $1,\dots,n$, tedy např. se ptáme na třídu $[A]_R$ pro podmnožinu $A$. POZOR, třídy nejsou definovány vůči číslů, ale množinám čísel!

Kdy existuje bijekce mezi $A$, $B$? No, vůbec nezáleží na samotných prvcích $A,B$, ale záleží na jejich počtu -- např. pokud $|B| < |A|$, tak určitě do nějakého prvku $B$ povedou v $f$ dvě šipky z $A$ a tedy $f$ nebude prostá; pokud $|B| > |A|$, tak do nějakého prvku $B$ nepovede žádná šipka v $f$ a tedy $f$ nebude na. Takže musí platit $|B| = |A|$ a to už stačí, tedy můžeme napsat:

$[A]_R = \{B \subseteq \{1,2,\dots,n\} \mid |B| = |A|\}$.

Ještě by se mělo ověřit, že to je fakt ekvivalence - tedy že je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Pokud s tím někdo budete zápasit, tak se zeptejte (hned dole pod příspěvkem.)

### [Relace dělitelnosti](https://matematika.reseneulohy.cz/3404/usporadani-delitelnosti)

### [Uspořádání na objednávku](https://matematika.reseneulohy.cz/3406/nejvetsi-a-maximalni-prvky)

### Skládání funkcí

Není ve sbírce, jak jsem si myslel. Zkuste promyslet a klidně se ptejte :)

### [Bijekce](https://matematika.reseneulohy.cz/3360/zobrazeni-na-nekonecnych-mnozinach)

----

Dále doporučuju ještě projít a promyslet tyto příklady

* [Uspořádání dvojic](https://matematika.reseneulohy.cz/3405/usporadani-dvojic)