Deadline: 2021-10-19 23:59 (442 days ago)
Martin Koutecký — 2021-10-12 11:09 (450 days ago) — reply
Pro relaci $R$ na množině $X$ definujeme indukcí relaci $R^n: R^1 = R, R^{n+1} = R \circ R^n$.
1. Dokažte, že je-li $X$ konečná množina, potom existují $r,s \in \mathbb{N}, r < s$ takové, že $R^r = R^s$.
2. Nalezněte relaci na nekonečné množině takovou, že všechny $R^n$ jsou různé -- tedy předchozí bod pro nekonečné množiny neplatí.
Student 555 — 2021-10-19 23:19 (442 days ago) — reply
1. Vememe si relace $R^1 a R^2$ a dáme je do vztahu $R^1=R^2$ jak je ostatně předepsáno. Sepíšeme to do zadaného vztahu $R^1 : R^1=R, R^2 = R * R^1$. $R * R^1$ přepíšeme ostatně jako $R*R$ což by kvůli skládání mělo být ekvivalencí samotného R. Což znamená že $R^1=R^2$ 2. Nenapadá mě.
Santa Claus — 2021-10-20 18:19 (441 days ago) — edit — reply
Ahoj, řešení máš podle mě špatně. Není pravda, že by pro každou relaci $R$ platilo $R = R \circle R$. Podívej se třeba na relaci na množině $X = \{1, 2\}$, která je definována jako $R = \{(1; 2)\}$. Složením této relace se sebou získáme prázdnou relaci, zkus si to nakreslit třeba v šípkovém diagramu.
Zkus řešení přepracovat, případně dodělat druhý bod, abych ti přidělil nějaké body, zatím je to bez bodu.
Points: 0.00
Martin Koutecký — 2021-10-22 12:18 (440 days ago) — reply
Souhlasím s korektorem, zkus to opravit.
Student 555 — 2021-10-24 20:29 (437 days ago) (after deadline) — reply
U 1. mi vyšlo $R^1=R^3$ viz. obrázek. A 2. fakt asi nijak z hlavy nevytlačím.
Attachment (pdf)
Santa Claus — 2021-10-24 21:41 (437 days ago) — edit — reply
Ahoj, tohle jako řešení určitě nepostačí, musíš to dokázat obecně, ne pro jednu relaci, ale pro každou. Nad jedničkou se zamysli obecněji. U té dvojky naopak je nejlepší, najít nějaký jeden konkrétní příklad, tak jako se snažíš u jedničky. Ještě pozor na pár věcí: u skládání relací máš na obrázku špatně pořadí, na rozdíl od funkcí je podle naší přednášky opravdu první ta vlevo, tady to ale nemá vliv. Taky máš naopak zápis složených a kulatých závorek, relace je množina a ta obsahuje (v tebou zvoleném případě) uspořádané dvojice (čísel).