Student 377 — 2021-10-10 14:14 (452 days ago) — reply
5| n**5-n
Dokážeme indukcí:
1) Pro n=1:
1**5 -1 = 0...5|0, tedy PLATÍ
2) Indukční předpoklad:
Pokud 5|n**5 -n, pak 5|(n+1)**5 -(n+1).
(n+1)**5 -(n+1)=...podle binomické věty...
= n**5 + 5n**4 + 10n**3 + 10n**2 + 5n +1-n-1 =
= 5(n**4 + 2n**3 + 2n**2 + n) + n**5 - n ... kde konec výrazu je dělitelný dle indukčního předpokladu, tedy celý výraz je dělitelný 5.
Pro všechna přirozená n tedy opravdu pětka dělí výraz n**5 -n.