Santa Claus — 2021-10-19 17:44 (442 days ago) — edit — reply
Vytvořit relaci, která je zároveň ekvivalencí a uspořádáním bychom mohli úpravou relace $\Delta_X$. Nově vytvořená relace se ale musí lišit v alespoň jedné dvojci, která do ni náleží, a toho můžeme docílit dvěma způsoby: 1. Ubrat dvojici ze stávající relace 2. přidat novou dvojici. Ukažme, že ani jedno nemůžeme udělat, aniž bychom nezrušili jednu z vlastností definujících ekvivalenci nebo uspořádání: 1. Kdybychom ubrali jakoukoliv dvojici $(x_1, x_1)$, pak by relace nebyla reflexivní, protože pro $x_1$ neplatilo $x_1Rx_1$. Relace by nebyla reflexivní a nebyla by ekvivalencí. 2. Kdybychom přidali dvojici (x,y), muselo by platit $x \neq y$, protože pro každé $x = y$ už dvojici v relaci máme. Pak máme dvě možnosti: 1\. Přidali bychom dvojice $(x, y)$ i $(y, x)$, pak by ale relace nebyla antisymetrická - měli bychom protipříklad k definici $xRy \wedge yRx \implies x = y$ 2\. Přidali bychom jednu z těchto dvojic, ale pak by relace nebyla symetrická. Ať už stávající relaci upravíme jakkoliv, nemůžeme vytvořit jinou, která by byla ekvivalencí i uspořádáním, tudíž žádná jiná taková relace neexistuje.