Santa Claus — modified 2021-10-14 17:04 (448 days ago) — edit — reply
> 1. $X = \N$, $(x,y)\in R \iff \exists z\in\N$, že $z$ dělí $x$ i $y$.
Dokažme, že je relace reflexivní, tranzitivní a symetrická:
-Reflexivní:
$\forall x \in \N: x|x \implies xRx$
-Symetrická:
$xRy \underset{def.}{\implies} \exists z\in\N: z|x \wedge z|y \implies yRx$
-Tranzitivní:
$\forall x,y,z; xRy \wedge yRz: 1|x \wedge 1|z \implies xRz$
Třída ekvivalence bude pouze jedna:
$\forall x: 1|x \wedge 1|1 \implies 1Rx \implies x \in [1]_R$
>A co když má být ještě $z > 1$?
Relace není ekvivalencí, protože není tranzitivní (protipříklad $2R10$ a $10R5$, ale $2\cancel{R}5$), nebo taky protože není ani reflexivní (protipříklad $1\cancel{R}1$, protože dělitelé jedničky je pouze jednička)
> 2. $X = \Z\times(\Z \setminus\{0\})$, $((a,b),(c,d))\in R \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Opět dokažme, že je relace reflexivní, tranzitivní a symetrická:
Pojmenujme $X= \Z\times(\Z \setminus\{0\})$
-Reflexivní:
$\forall (x,y) \in X: \frac{x}{y} = \frac{x}{y} \implies (x,y)R(x,y)$
-Symetrická:
$(u,w)R(x,y) \underset{def.}{\implies} \frac{u}{w} = \frac{x}{y} \implies \frac{x}{y} = \frac{u}{w} \implies (x,y)R(u,w)$
-Tranzitivní:
$\forall (a,b),(c,d),(e,f); (a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f) \implies \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \wedge \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \implies \frac{a}{b} = \frac{e}{f} \implies (a,b)R(e,f)$
Tříd ekvivalence bude nekonečně mnoho, pro každou dvojci vzájemně nesoudělných *přirozených* čísel $a$,$b$ budou tyto třídy čtyři, a sice $[(a,b)]_R$, $[(b,a)]_R$, $[(-a,b)]_R$, $[(-b,a)]_R$. Pro každou ostatní dvojci čísel bude možné jejich zlomek zkrátit, nebo bude záporný, nebo půjde zkrátit a k tomu bude záporný, každopádně nám vyjde kladný nebo záporný zlomek dvou nesoudělných čísel, pro který už máme třídu. Poslední třídou bude třída pro všechny dvojce $(a,b) \in X$, kde $a = 0$, hodnota jejichž zlomku bude rovná nule.