The Postal Owl

Hodnoty $8 \leq h \leq 11$ můžeme zaplatit následovně:

$8$ lze zaplatit mincemi o hodnotách $5$ a $3$  
$9$ lze zaplatit mincemi o hodnotách $3$, $3$ a $3$  
$10$ lze zaplatit mincemi o hodnotách $5$ a $5$  
$11$ lze zaplatit mincemi o hodnotách $5$, $3$ a $3$  

Hodnoty pro $h \geq 12$ lze vždy vyjádřit jako 

$3\cdot k + l$, kde  $k \geq 4$ a $l \in \lbrace 0,1,2 \rbrace$

Protože každé číslo je dělitelné třemi buď beze zbytku, nebo se zbytkem
$1$, nebo $2$  
a protože $4 \leq \frac{h}3$  


To lze vyjádřit také jako

$3\cdot m + 3 \cdot 3 + l$, kde  $m \geq 1$ a $l \in \lbrace 0,1,2 \rbrace$

Tuto hodnotu můžeme rozdělit na  

$3 \cdot m$ pro $m \geq 1$, což dokážeme zaplatit mincemi o hodnotě $3$

a na $3 \cdot 3 + l$, kde  $l \in \lbrace 0,1,2 \rbrace$, což může nabývat hodnot $9$, $10$, nebo $11$ a ty jsme schopni zaplatit.

Mincemi můžeme zaplatit hodnoty $8 \leq h \leq 11$ a také hodnoty   $h \geq 12$, takže jimi můžeme zaplatit každou hodnotu  $8 \leq h$

Ahoj, nechci být rýpal, jenom si myslím, že některé připomínky nejsou validní, snad nejsem příliš zaujatý.
 
Struktura důkazu je dokázat větu pro hodnoty $8 \leq h \leq 11$ ($h$ jako hodnota), poté dokazuji hodnoty $12 \leq h$.

V první části podle mě nemůže být nejasnost.

V druhé části zavádím proměnné $k$, $l$ a $m$, kde $k \geq 4, m \geq 1$ a $l \in \{0, 1, 2\}$
Tyto proměnné nemají žádný jiný význam, než vyjádřit jinak hodnotu $h$.

Proč platí $3\cdot k + l \geq 12$ je podle mě triviální. Uplně stejně jako že $3\cdot k + l= 3\cdot m + 9 + l$.

$3 \cdot 3 + l$ opravdu jiných hodnot dle definice $l$ nabývat nemůže. Je to $\{9+0; 9+1; 9+2\} = \{9; 10 ;11\}$

Slovu což se vyhýbám, ale zde je podle mě jednoznačné. Například z

  > $3\cdot m$ pro $m≥1$, což dokážeme zaplatit mincemi o hodnotě 3

je jasné, že myslím, že $3\cdot m$ lze zaplatit nějakým počtem  mincí ($m$ mincemi) o nominální hodnotě 3

Stejnětak u druhého což, kde se jedná o dříve uvedené hodnoty  $\{9; 10 ;11\}$, které jsem popsal v druhé části.

> Kdybych ti zadal číslo n, jak zjistím jak ho skládat?

To sice není původní zadání, ale z důkazu je to podle mě jednoznačně vidět:

Rozdělím hodnotu na dvě části, aby jedna byla násobkem tří a druhá byla jedna z hodnot  $\{9; 10 ;11\}$

Ok, tak tedy postup:


Pro $h \geq 12$ rozdělím hodnotu na dvě části 

> $3\cdot k + l$, kde  $k \geq 4$ a $l \in \lbrace 0,1,2 \rbrace$

A to tak, že $l$ bude zbytek po vydělení hodnoty $h$ třemi a $k$ bude celočíselná část po vydělení hodnoty $h$ třemi. Jednoznačně musí platit, že

$h / 3 = celočíselná část dělení + zbytek po dělení$

Pak postupuji podle popsaného postupu, a to tak, že z části $3\cdot k$ uberu devět a přičtu to ke "zbytkové" části. Dostanu hodnoty 9, nebo 10, nebo 11,  jejiž platbu jsem již rozepsal na začátku.

Z první části, kde jsem odebral devět, mi zbyde  $3\cdot m$, ale protože původně k mělo být větší nebo rovno čtyři, a já tři ubral, tak m musí být větší nebo rovno 1, ale tak jako tak to půjde zaplatit m mincemi o hodnotě tři.


Přijde mi, že jsem nic nového nenapsal, jenom jsem opsal postup jako algoritmus.