Santa Claus — 2021-10-30 11:47 (432 days ago) — edit — reply
V zájmu návaznosti zaměňme pořadí důkazů: b) Platí. Důkaz sporem: Existuje $a,b \in M, a \neq b$, takové že $g(a) = g(b) \in M$. Protože je $g(a) \in M$, musí se v zobrazení $f$ zobrazit do nějákeho prvku $f(g(a)) = c$. Pak ale $f(g(a)) = f(g(b)), a \neq b$, složená funkce by nebyla prostá, což je spor. a) Platí: Lemma: Funkce g musí být prostá dle důkazu výše, protože se jedná o zobrazení, musí se každý prvek zobrazit do nějakého dalšího, a protože v definičním oboru i v oboru hodnot je stejný počet prvků, z každého vede jedna šipka a do každého vede jedna nejvýšše šipka (prostá), do každého ale vede právě jedna šipka (funkce je na, vyplývá ze stejného počtu prvků v def. a hod. oboru) - jedná se o bijekci. Důkaz sporem: Uvažme, že existuje $a,b \in M, a \neq b$, takové že $f(a) = f(b) \in M$. Protože je $g$ bijekce, existuje právě jedno $c,d \in M$, pro které platí $g(c) =a$ a $g(d)= b$, přičemž $c \neq d$. Potom ale $f(g(c)) = f(g(d))$ pro $c \neq d$, což by znamenalo, že složená funkce není prostá, což je spor. --- c) Platí Protože je složená fce na, v $f$ vede do každého bodu šipka, $f$ je tedy taky na. d) Platí Lemma: Protože je stejný počet prvků v definičním oboru i oboru hodnot $f$ a z každého bodu vede nejvýše jedna šipka (jedná se o zobrazení), musí být $f$ prosté a tedy bijekce. Důkaz sporem: Kdyby $g$ nebyla na, existoval by prvek $a$ v oboru hodnot $g$, do kterého by nevedla šipka, pak by se žádný bod ve složeném zobrazení nezobrazil do bodu $f(a)$, a protože do $f(a)$ vede jen jedna šipka (bijekce), nebyla by složená funkce na, což je spor.