Santa Claus — 2021-10-22 17:06 (440 days ago) — edit — reply
> *Lexikografické uspořádání* $\N \times \N$ je uspořádání po souřadnicích, tzn. platí $(a,b) \leq (c,d)$ pokud $a < c$ nebo $a = c$ a $b \leq d$.
>
> *Vnoření* jedné uspořádané množiny $(X, \leq)$ do jiné uspořádané množiny $(Y, \preccurlyeq)$ je prosté zobrazení $f: X \to Y$ takové, že $\forall x, x' \in X: x \leq x' \Leftrightarrow f(x) \preccurlyeq f(x')$
>
> 1. Popište nějaké vnoření množiny $\{1,2\}\times \N$ s~lexikografickým
> uspořádáním do uspořádané množiny $(\mathbb{Q},\leq)$, kde $\leq$ je obvyklé uspořádání
> podle velikosti.
Pro přehlednost si množinu rozepíšu:
$\{1,2\}\times \N = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), ... , (2, 1), (2, 2), ... \}$
Zobrazení:
$f((a, b)) = a - \frac1b$
Vysvětlení:
Pro každé $a, b, a = 1$ nám zobrazení přiřadí $1 - \frac1b$, což pro $b \in \N$ bude nabývat hodnot v intervalu $<0, 1)$ a bude pro rostoucí $b$ růst - odečítáme pořád menší číslo. Pro $a = 2$ je to uplně to stejné, jenom funkční hodnota bude v intervalu $<1, 2)$. Funkční hodnota bude vždy z $\mathbb{Q}$, můžeme totiž přepis přepsat jako:
$f((a, b)) = \frac{ab-1}b$
Kde je jmenovatel i čitatel celé nezáporné číslo.
Ještě trochu formálněji, pro případ, že by slovní popis nebyl dostatečný (pokud byl dostatečný, tak se to dá přeskočit):
$\forall (a,b),(c,d) \in \N, (a,b) < (c,d):$
1. $a < c$ nebo
2. $a = c \text{ a } b < d$
1\. $a < c$
Platí, že $\frac{1}d \leq 1$, protože $d \in \N$
Z toho plyne $c - \frac{1}d \geq c - 1$
Z přirozených čísel plyne $a < c \implies a \leq c - 1$
A platí, že $\frac1b > 0$, protože v jmenovateli je kladné číslo a čitateli nemůže být nula.
$c - \frac{1}d \geq c - 1 \geq a > a - \frac1b$
$\boxed{a < c \implies c - \frac{1}d > a - \frac1b}$
2\. $a = c \text{ a } b < d$
$b < d \implies \frac1d < \frac1b \implies a - \frac1d > a - \frac1b \underset{a = c}{\implies} c - \frac1d > a - \frac1b$
$\boxed{a = c \wedge b < d \implies c - \frac{1}d > a - \frac1b}$
> 2. Popište vnoření $\N\times \N$ s lexikografickým uspořádáním do
> $(\mathbb{Q},\leq)$.
Použijme zobrazení z bodu 1.