Santa Claus — 2022-10-06 21:38 (90 days ago) — edit — reply
1. $\displaystyle \sum^n_{k=1} k \binom{n}{k} = n2^{n-1}$
Intuitivní interpretace: Vybereme $k$ pro $k=1...n$ ($\bold{\sum^n_{k=1}}$) a pak vybereme tým o velikosti k ($\bold{ \binom{n}{k}}$) a z toho každý může být kapitán ($\bold{k}$).
Stejného výsledku dosáhneme, když nejdříve vybereme kapitána ($\bold{n}$ možností), a pak vybereme všechny kombinace zbylých hráčů. Tyto kombinace si můžeme dále představit třeba jako charakteristickou uspořádanou (n-1)-tici jedniček a nul, kde jednička značí, že hráč patří do kapitánova družstva. Takových uspořádaných (n-1)-tic je $\bold{2^{n-1}}$
2. $\displaystyle \sum^n_{k=1} k^2 \binom{n}{k} = n(n+1)2^{n-2}$
Intuitivní interpretace: Vybereme velikost komise $k$ pro $k=1...n$ ($\bold{\sum^n_{k=1}}$) a pak vybereme komisi o velikosti k ($\bold{ \binom{n}{k}}$) a z toho každý může být předseda a nebo místopředseda, přičemž povolíme zlo kumulace funkcí ($k \cdot k = \bold{k^2}$).
Druhý výraz z dovolením trochu upravím, protože mě tak napadlo to přirovnání:
$n(n+1)2^{n-2} = n(n-1+2)2^{n-2} = \underbrace{n(n-1)2^{n-2}}_{(a)} + \underbrace{n2^{n-1}}_{(b)}$
To lze interpretovat takto: Nejdříve se rozhodneme, jestli nastane kumulace funkcí:
**Ne** - případ (a) - vybereme předsedu ($\bold{n}$ možností), pak místopředsedu ($\bold{n-1}$ možností) a u zbytku lidí rozhodneme, zda jsou členy komise, obdobně jako u týmů u příkladu 1 ($\bold{2^{n-2}}$).
**Ano** - případ (b) - vybereme kumulanta a pak u zbytku lidí rozhodneme, zda jsou členy komise, obdobně jako u týmů u příkladu 1 ($\bold{2^{n-1}}$).