První úloha

a. $\binom{2n}{n-1}$
b. $\binom{2n}{n}$
c. $\binom{2n}{10}$
d. $n!$
e. $n^{\sqrt{n}}$
f. $n^{15}$
g. $(\log n)^n$
h. $\log(n^n)$
i. $2^n$

Navrhuji takovéto pořadí: $c < f < h < e <i < a < b < g < d$.

1. $c < f$

   $\binom{2n}{10} \underset{\text{z přednášky}}{<} (2n)^{10} = const \cdot n^{10} < n^{15}$

2. $f < h$

   $h$ si přepíšeme jako $\log(n^n) = n \log(n) = 2^{\log(n \log n )}$

   Exponenciála roste rychleji než polynom.

3. $h < e$

   $e$ si přepíšeme jako $n^{\sqrt{n}} = 2^{\sqrt{n} \log(n)} > 2^{\log(n \log n )}$

   Odmocnina roste rychleji než logaritmus.

4. $e < i$

   $2^{\sqrt{n} \log(n)} < 2^n$

   Lineární funkce roste rychleji než odmocnina.

5. $i < a$

   Pro využití odhadu výraz upravíme $\binom{2n}{n-1} = \frac{(2n!)}{(n-1)!(n+1)!} = \binom{2n}{n}\frac{n}{n+1}$

   Použijeme spodní odhad z přednášky $\binom{2n}{n-1} > 2^{2n} \frac{n}{(n+1)(2\sqrt{n})} > 2^n$

   Důležitý člen je exponenciála, u $a$ je exponent dvakrát větší.

6. $a < b$

   Z přednášky nebo taky podle bodu 5. (tj. $\binom{2n}{n-1} = \binom{2n}{n}\frac{n}{n+1}$)

7. $a < g$

   $\binom{2n}{n} < \frac{2^{2n} }{\sqrt{2n}} < 2^{n \log \log n} =(\log n)^2$

   Opět nás zajímá pouze exponenciála, n se zkrátí a dvojku přeroste vnořený logaritmus.

8. $g < d$

   $2^{n \log \log n} < 2^{{\frac{n}2} \log n }= 2^{\log n^{\frac{n}2} }= n^{\frac{n}2} < n!$

   Exponenciála - zajímá nás logaritmus, dvojku přeroste. Navíc logaritmus přeroste vnořený logaritmus.

Druhá úloha

Ukažte, že pro každé přirozené číslo m platí, že součin prvočísel z intervalu $[m + 1, 2m]$ je nejvýše $\binom{2m}{m}$

$\binom{2m}{m} = \frac{(2m)!}{(m!)^2}$

Pro každé $p$ prvočíslo z intervalu platí, že je součástí rozkladu čitatele, ale už ne jmenovatele.

Uvážme prvočíselný rozklad celého čísla $\binom{2m}{m}$, musí obsahovat všechna prvočísla z intervalu, protože je ve zlomku nezkrátíme. $\square$

Tyjo, to je úplný nesmysl, asi jsem to psal moc v noci :) Díky