Santa Claus — 2022-10-23 20:22 (73 days ago) — edit — reply
1. $(0, 1, 1, 2, 2, 4, 3, 8, 4, 16, ... , i, 2i, ...)$
1. Vytvoříme si řadu $(0,1,2,3, ...)$
- Začneme samými jedničkami: $\frac1{1-x}$
- Derivací vytvoříme řadu $(1,2,3, ...)$: $(1-x)^{-2}$
- Posuneme doprava pro přidání nuly: $x(1-x)^{-2}$
2. Vytvoříme si řadu mocnin dvojky $(1,2,4,8 ...)$
- Začneme samými jedničkami: $\frac1{1-x}$
- Rovnou uděláme mocniny dvojky $(1,2,4, ...)$ dosazením $2x$ za $x$ : $\frac1{1-2x}$
3. První řádu proložíme nulami dosazením $x^2$ za $x$ : $x^2(1-x^2)^{-2}$
4. Druhou řadu taktéž proložíme nulami: $\frac1{1-2x^2}$
5. Druhou řadu posuneme doprava $x\frac1{1-2x^2}$
6. Obě řady sečteme $x^2(1-x^2)^{-2} + x\frac1{1-2x^2}$
2. Převedeme na vytvořující funkce a posuneme doleva:
$\frac{A(x)-a_1x-a_0}{x^2} = 5 \frac{A(x)-a_0}{x} -4A(x)$
$A(x)-a_1x-a_0 = 5x (A(x)-a_0) -4x^2A(x)$
$3x-1= 5xA(x) - 4x^2A(x) - A(x)$
$A(x) = \frac{3x-1}{(x-1)(4x-1)}$
Rozklad na parciální zlomky:
$\frac{3x-1}{(x-1)(4x-1)}= \frac{A}{x-1} + \frac{B}{4x-1}$
$1-3x = A(4x-1) + B(x-1)$
$1 = - A - B$
$-3 = 4A + B$
$-2 = 3A$
$A = -\frac23$
$B = -\frac13$
$\frac2{3(1-x)}$ převedeme na $(\frac23, \frac23, ...)$
$\frac1{3(1-4x)}$ převedeme na $(\frac13, \frac43, \frac{16}3, ...)$
Sečtením získáváme postoupnost $a_n = \frac{2+4^n}3$