Student 555 – Dělitelnost [A] – Diskrétní matematika

Martin Koutecký — 2021-10-05 11:01 (457 days ago) — reply

Dokažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ je $n^5 - n$ dělitelné 5
(beze zbytku).

Student 555 — 2021-10-12 19:24 (449 days ago) — reply

Nejprve ověříme za-li platí výraz pro n = 1.
při dosazení nám vyjde 0/5 což je 0 takže dělitelnost bezezbytku byla dodžena.
Dále to dokážeme pro každé n + 1.
(n+1)^5 - n + 1
po roznásobení dostaneme:
1 + 5 n + 10 n^2 + 10 n^3 + 5 n^4 + n^5 - n + 1
Což následně uspořádáme takto:
n^5 + n + 5 n + 10 n^2 + 10 n^3 + 5 n^4
vytkneme 5 z následujících prvků
n^5 + n + 5 (n + 2n^2 + 2n^3 + n^4)
z našeho předpokladu víme že "n^5 + n" je již dělitelné 5.
A výraz "5 (n + 2n^2 + 2n^3 + n^4)" je dělitelný 5 z důvodu že celá závorka je jí násobena. A sečtení výrazů když jsou obá dělitelné 5 opět vyprodukuje výraz dělitelný 5.

Santa Claus — 2021-10-12 20:17 (449 days ago) — edit — reply

Ahoj, snaha o indukční důkaz je supr, ale vloudilo se ti tam pár chybek.

Od začátku počítáme, že pěti je dělitelný vyraz $n^5 - n$, ty v druhé části vycházíš z toho, že **$n^5 + n$** je dělitelné pěti, což jsi ani nepředpokládal ani nedokázal. Původ chyby je v tom, že chceš asi odečíst výraz $n+1$, ale zapomněl jsi na závorky a ve skutečnosti se z toho stalo $-n + 1$. Ty chyby jsou celkem zamotané:

> dostaneme: 1 + 5 n + 10 n^2 + 10 n^3 + 5 n^4 + n^5 - n + 1 Což následně uspořádáme takto: n^5 + n + 5 n + 10 n^2 + 10 n^3 + 5 n^4

Z $- n$ se ti stává $+n$ a $1 + 1$ (první a poslední člen) ti úplně zmizí.

Z popsaných úprav tedy důkaz není jasný, ale myšlenka je dobrá.

PS: Když svoje matematické výrazy obalíš do znaků \$ \$, budou hezčí a čitelnější, např. když napíšeš \$n^5 - n\$ prohlížeč zobrazí $n^5 - n$

Points: 1.50

Santa Claus — 2021-10-13 14:12 (449 days ago) — edit — reply

Jinak když si to opravíš, tak ti můžu přidělit zbytek bodů.

The Postal Owl

Diskrétní matematika

Dělitelnost [A] (Student 555)

New post (You can use Markdown with KaTeX math here)