The Postal Owl

Dokažme tvrzení pro množinu $[|X|] = [n]$, pro jakokoukoliv jinou množinu už jde jen o přejmenování.

Z množiny $2^{[n]}$ vyberme všechny množiny $[k]$, kde $k \leq n$.

Pro každé $a,b, a < b$ platí $[a] \subset [b]$, protože $[b]$ obsahuje všechny prvky $[a]$.

Zobrazení, které můžeme použít jako vnoření, by mohlo být takovéto:

$f(x) = [x]$

To, že se jedná o zobrazení, je jasné, to, že je prosté, je taky zřejmé, a to, že z něj lze udělat vnoření jsem dokázal výše.

Aha, to mě vůbec nenapadlo. 

Tak tedy v tom případě jinak:

každému prvku přířadíme jeho vlastní underset sjednocený s jednoprvkovou množinou obsahující samotný prvek (kdyby se jednalo o ostré uspořádání).

Pokud je prvek a pod b, pak underset b obsahuje určitě a, taky je underset a podmnožinou undersetu b (z přednášky).

Naopak pokud x není pod y, pak v množině, kterou přiřadíme y nebude prvek x, takže množina přiřazená prvku x nebude podmnožinou množiny přiřazené prvku y.