The Postal Owl

1. Rozklad na parciální zlomky

	$\frac{x + 3}{x^2 + x -2} = \frac{x + 3}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} +  \frac{B}{x-1}$  
	$x+3 = A (x-1) + B(x + 2)$
	1. $3 = 2B - A$  
	2. $1 = A + B$

	$3 = 2B - (1 - B) = 3B -1 \implies B = \frac43; A = -\frac13$

	Tedy $\frac{x + 3}{x^2 + x -2} =  \frac{4}{3(x-1)} - \frac{1}{3(x+2)}$  

2. Zobecněná binomická věta

	$\frac1{\sqrt{1-2x}} = (1-2x)^{-\frac12}$

	Víme, že vytvořující funkcí $(1-x)^{-n}$ je $\sum^\infty_{i=0} \binom{n+i-1}{n-1}x^i$

	$n$ je v našem případě $\frac12$

	Nyní za $x$ dosadíme $2x$ a dostaneme funkci $\sum^\infty_{i=0} 2^i\binom{\frac12+i-1}{\frac12-1}x^i$

	Na tohle použijeme odvozený vztah ze cvičení $(-1)^i\binom{r + i − 1}{r − 1} = \binom{-r}{i}$

	$= \sum^\infty_{i=0}  (-1)^i 2^i\binom{-\frac12}{i}x^i$

	Pro $n$

	$(-1)^n 2^n\binom{-\frac12}{n} = (-1)^n 2^n\frac{(-\frac12)(-\frac32)(-\frac52)...}{n!} = \frac{1\cdot 5\cdot  ... \cdot (2n - 1)}{n!} = \frac{(2n)!}{n! 2 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2n} = \frac{(2n)!}{n!n!2^n} = \binom{2n}{n}2^{-n}$

3. Hod kostkami

Jedná se o vytvořující funkci $(x^1 + x^2 + ... + x^6)^k$

To upravíme na $(x^1 + x^2 + ... + x^6)^k = x^k(1+x+...+x^5)^k$

To je to stejné, jako kdybychom hledali koefient u $x^{n-k}$ v $(1+x+...+x^5)^k$

To ale můžeme vyjádřit jako $\left(\frac{1-x^6}{1-x}\right)^k = (1-x^6)^k\left(\frac{1}{1-x}\right)^k$

prvního součinitel:
$\sum^\infty_{i=0} \binom{k}{i} (-1)^i x^{6i}$

druhý:
$\sum^\infty_{i=0} \binom{k+i-1}{k-1} x^i$

Součin, hledáme $n-k$:

$= \sum^{n-k}_0 \binom{k+i-1}{k-1}$...